classe-pspace

La classe PSPACE

Sat, 19 May 2007 18:33:00 GMT

Pr�sentation Dans la th�orie de la complexit�, la notion de classe est utilis�e afin de classer les diff�rents probl�mes par rapport � la complexit� de ceux-ci. Cette classe, classant les probl�mes par rapport � l’espace m�moire qu’ils n�cessitent, contient l’ensemble des probl�mes pouvant �tre r�solus par un algorithme d�terministe en utilisant un espace m�moire polynomial par rapport � la taille des donn�es. Repr�sentation graphique Il est possible de repr�senter graphiquement la classe PSPACE avec les deux graphes suivants qui repr�sentent les courbes f(n) = n2 et f(n) = n6 : La class P Cette classe, classant les probl�mes par rapport au temps, est surement la plus importante de la th�orie des complexit�s car elle contient tous les probl�mes facilement solubles. Elle contient r�ellement tous les probl�mes pouvant �tre r�solus par un algorithme d�terministe en un temps polynomial par rapport � la taille des donn�es. Cela signifie que la taille des donn�es est n, le temps sera nx. Le probl�me avec cette classe est qu’elle peut tout � fait contenir des probl�mes rapidement solvables comme elle peut contenir des probl�mes qui n�cessitent un temps tr�s important. En effet, la complexit� en temps pourra �tre n100000 pour un probl�me de la classe P comme elle pourra �tre n2. Il est possible de d�duire l’inclusion P�inclut PSPACE car les algorithmes n�cessitant un temps polynomial ne peuvent que n�cessiter un espace polynomial. Extension a NPSPACE Le th�or�me de Savitch (1970) �nonce que si une machine de Turing nond�terministe peut r�soudre un probl�me en utilisant un espace m�moire f(n) (<= log(n)), alors une machine de Turing d�terministe peut r�soudre le m�me probl�me avec un espace m�moire f2(n). Ce th�or�me permet de d�duire le corollaire : PSPACE = NPSPACE. Autrement dit, PSPACE correspond � l’ensemble des probl�mes pouvant �tre r�solus par une machine de Turing d�terministe ou non-d�terministe avec un espace m�moire polynomial par rapport � la taille des donn�es. Ce corollaire est �vident car le carr� d’une fonction polynomial est une fonction polynomial. PSPACE correspond � l’ensemble des probl�mes pouvant �tre r�solus par une machine de Turing d�terministe ou non-d�terministe avec un espace m�moire polynomial par rapport � la taille des donn�es. Ce corollaire est �vident car le carr� d’une fonction polynomial est une fonction polynomial.

Les diff�rents types de complexit�

Sat, 19 May 2007 18:26:00 GMT

La complexit� en temps La complexit� en temps �value le temps n�cessaire au probl�me en fonction de la taille des donn�es. On d�finit les deux classes suivantes utilisant ce type d’�valuation : TIME(t(n)) : l’ensemble des probl�mes P qui peuvent �tre d�cid�s en temps t(n) par une machine d�terministe NTIME(t(n)) : l’ensemble des probl�mes P qui peuvent �tre d�cid�s en temps t(n) par une machine non-d�terministe La complexit� en espace La complexit� en espace �value l’espace m�moire n�cessaire au probl�me en fonction de la taille des donn�es. Tout comme la complexit� en temps, on d�finie les deux classes suivantes utilisant ce type d’�valuation : SPACE(s(n)) : l’ensemble des probl�mes P qui peuvent �tre d�cid�s par une machine d�terministe en utilisant s(n) cases m�moires au maximum NSPACE(s(n)) : l’ensemble des probl�mes P qui peuvent �tre d�cid�s par une machine non-d�terministe en utilisant s(n) cases m�moires au maximum

Les diff�rents types de machine

Sat, 19 May 2007 18:21:00 GMT

Les Machines D�terministes Une machine d�terministe est une machine telle que nous les connaissons. Les deux mod�les les plus utilis�s sont : La machine de Turing La machine RAM Les machines d�terministes n’effectuent qu’un calcul � la fois. Le d�terminisme se situe dans le fait qu’� chaque �tat donn� de la m�moire de la machine, l’action �l�mentaire qui sera effectu�e sera toujours la m�me. Les Machines Non-D�terministes Les machines non-d�terministes se diff�rencient des machines d�terministes principalement par le crit�re cit� � la fin de la partie pr�c�dente. En effet, � chaque �tat donn� de la m�moire de la machine, celle-ci a le choix entre� plusieurs actions. A partir de ce choix, la machine devine la bonne et l’effectue. Il est possible d’imaginer le fonctionnement en consid�rant qu’� chaque fois que la machine doit faire un choix, celle-ci se d�double en diff�rents clones qui essaient de poursuivre l’ex�cution. Lorsqu’un des clones a r�ussi l’ex�cution, la machine aura alors r�ussi l’ex�cution.

Introduction

Sat, 19 May 2007 18:17:00 GMT

Dans le domaine de l’informatique, lors de la r�solution d’un probl�me, il est tr�s important et int�ressant de savoir le temps qui sera n�cessaire � sa r�solution ainsi que l’espace m�moire. Afin de r�soudre ce calcul, la "th�orie de la complexit�" a �t� mise au point. Celle-ci a en effet pour objectif d’�tudier la difficult� d’un probl�me en estimant la n�cessit� en temps et en espace m�moire de celui-ci. Elle permet donc, � partir� d’un probl�me, d’estimer ses ressources spatiales et temporelles pour le r�soudre.